Ruch harmoniczny

Jest to ruch, w którym wychylenie z położenia równowagi zmienia się zgodnie z relacją:

x = A cos (2πνt + δ) = A cos (2 πt/T +δ)

Gdzie: A - amplituda (maksymalna wartość x), ν - częstotliwość [Hz], T - okres [s], δ - faza początkowa określająca wychylenie x w t=0.

Ruch harmoniczny ze zmienną amplitudą i wychyleniem z położenia równowagi:

Ruch harmoniczny ze zmiennym wychyleniem z położenia równowagi:

Ruch harmoniczny ze zmiennym wychyleniem z położenia równowagi i częstością:

Składanie ruchów harmonicznych

Nakładanie się drgań zachodzących wzdłuż prostopadłych kierunków z różną różnicą faz:

Różnica faz = (π/2):

Plot3D[Cos[x]+ Sin[y],{x,0,25},{y,0,25}]

Różnica faz = (π/4):

Plot3D[Cos[x]+ Cos[y+ Pi/4],{x,0,5},{y,0,5}]

Plot3D[Cos[x]+ Cos[y+ Pi/4],{x,0,15},{y,0,15}]

Krzywe Lissajous

Drganie tworzące krzywą Lissajous są rezultatem dodania do siebie dwóch drgań harmonicznych zachodzących w kierunkach wzajemnie prostopadłych, mających postać:
x=Acos(2(Subscript[πν, 1])t)
y = B cos (2(Subscript[πν, 2])t + δ)
przy założeniu, że stosunek częstości ((Subscript[ν, 1])/(Subscript[ν, 2])) jest liczbą wymierną. Kształt krzywej zależy od stosunku częstotliwości drgań składowych i od fazy początkowej δ. Okresem krzywej Lissajous jest czas,
po którym obie współrzędne przyjmą wartości początkowe, więc spełniona jest zależność:
((Subscript[ν, 1])/(Subscript[ν, 2])) = ((Subscript[T, 2])/(Subscript[T, 1]))= ((Subscript[n, y])/(Subscript[n, x]))
gdzie (Subscript[n, x]) i (Subscript[n, y]) są liczbami cłkowitymi równymi liczbie przecięż krzywej Lissajous odpowiednio z osiami x i y. Badając kształt krzywej, stosunek liczby jej przecięć z osiami X i Y
oraz częstość jednego drgania składowego, można znaleźć częstość drugiego drgania.

Najprostsze przykłady krzywych Lissajous:
Stosunek częstośći =1, δ = (π/2) - okrąg

ParametricPlot[{Cos[u], Sin[u]}, {u, 0, 2Pi}, {PlotStyle->Green}]

Stosunek częstośći =1, δ = (π/4) - elipsa

ParametricPlot[{Cos[u], Cos[u + Pi/4]}, {u, 0, 2Pi}, {PlotStyle->Red}]

Krzywe Lissajous  dla różnych stosunków częstośći drgań:

GraphicsGrid@ Table[ParametricPlot[{Sin[m u], Sin[n u]}, {u, 0, 2Pi}], {n, 3}, {m, 3}]

Dudnienie

Kiedy drgania harmoniczne odbywają się wzdłuż tego samego kierunku i mają zbliżone częstotliwości, ich dodawanie daje wypadkowy ruch zwany dudnieniem.
Jeśli amplitudy obu drgań są równe, a fazy początkowe równe zero, opisane jest ono równaniem:

x = (Subscript[x, 1 ])+ (Subscript[x, 2]) = Acos(2(Subscript[πν, 1])t) + Acos(2(Subscript[πν, 2])t) = 2Acos (2π (((Subscript[ν, 1]) - (Subscript[ν, 2]))/2)t)cos (2π (((Subscript[ν, 1]) + (Subscript[ν, 2]))/2)t) = (Subscript[A, mod])cos(2π(Subscript[ν, Śr])t)
(Subscript[ν, Śr = ])(((Subscript[ν, 1]) + (Subscript[ν, 2]))/2) - częstotliwość drgań wewnętrznych
(Subscript[ν, mod = ])(((Subscript[ν, 1]) - (Subscript[ν, 2]))/2)
Można ten ruch interpretować jako oscylacje o częstotliwości (Subscript[ν, Śr]) i amplitudzie (Subscript[A, mod]) zmienającej się z częstotliwością (Subscript[ν, mod .   ])Okres dudnień jest dwa razy mniejszy od okresu modulacji amplitudy - częstotliwość
dudnień jest równa podwojonej częstości modulacji amplitudy , czyli (Subscript[ν, dudnienia= ])(Subscript[ν, 1]) - (Subscript[ν, 2]). 


Przykładowy przebieg dudnienia oraz dudnienie dla zmiennych częstotliwości fal składowych:

Plot [Cos[3x]* Cos[4x], {x, -20, 20}, {PlotStyle->Yellow}]
Animate [Plot[2 Cos [ π (a-b) u] Cos [π (a+b) u],{u, 0, 20}], {a,0,4},{b,1,5}]

Prosty przykład interferencji

Fala  biegnąca "w lewo":

Animate[Plot3D[Sin[y+a] + Cos[y + b], {y, 0, 10}, {x, 0, 2Pi}], {a, 0, 5}, {b, 0, 5}]

Nałożenie się fal biegnących "w lewo" i "w prawo":

Animate[Plot3D[Sin[y+a] + Cos[y + b] + Sin[x-a]+ Cos[x-a], {y, 0, 10}, {x, 0, 10}], {a, 0, 5}, {b, 0, 5}]

Bibliografia:
http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html
Skrypt do I Pracowni Fizycznej